Ingeniería didáctica para el aprendizaje de la función lineal mediante  la modelación de situaciones*

Didactic engineering for the learning of the lineal function through the modeling of situations

Engenharia didática para aprender a função linear modelando situações

Milton Cesar Campeón Becerra** Eliecer Aldana Bermúdez*** Jhony Alexander Villa Ochoa ****

*Investigación realizada para obtener el título de Magister en enseñanza de la matemática "Aprendizaje del concepto de función a partir de la modelación de situaciones en contexto mediante una ingeniería didáctica". Grupo GEMAUQ (Grupo de investigación en educación matemática de la universidad del Quindío). Este proyecto fue financiado con recursos propios de los autores.

** Mg. En enseñanza de la matemática, docente de la Institución Educativa Nuestra Señora de los Dolores (Quinchia Risaralda), Grupo GEMAUQ, 1000toncesar@gmail.com, Carrera 5 # 9 – 55  Riosucio Caldas.

***Phd En educación matemática, docente titular Universidad del Quindío, Coordinador Grupo de Investigación Educación Matemática (GEMAUQ), eliecerab@uniquindio.edu.co, Avenida Bolívar, Cra 15 Calle 12 Norte.

****Doctor en Educación, Magister en Educación: Docencia de Las Matemáticas, Especialización en Educación: Enseñanza  de las Matemáticas, Licenciado en Educación: Matemáticas y Física. Profesor investigador Universidad de Antioquia, jhonyvilla@gmail.com. Calle 67 # 53 – 108 Bl 9 of 415.

Resumen

En el presente artículo se analiza la forma cómo aprenden los estudiantes el concepto de función lineal a partir de una ingeniería didáctica, en la cual desarrollarán tareas de modelación de situaciones en contexto, El propósito principal es potenciar el aprendizaje del concepto de función mediante la modelación de situaciones, lo cual se logra a través de la confrontación entre  las concepciones a priori y a posteriori de los estudiantes en la fase 4 de la ingeniería. La metodología empleada, los instrumentos utilizados y los objetivos trazados hacen de esta una investigación cualitativa dado que no se pretende evaluar modelos, ni validar hipótesis o teorías preconcebidas para analizarlas por métodos matemáticos. Entre los resultados obtenidos se encontró que las dificultades relacionadas con el aprendizaje del concepto de función lineal están asociadas con el traslado a través de los diferentes registros semióticos de representación que esta posee, especialmente el traslado a los registros algebraico y gráfico. Se concluyó que efectivamente es posible alcanzar un aprendizaje del concepto de función en el cual los estudiantes desarrollen el pensamiento variacional mediante el reconocimiento, percepción y caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, para modelarlo, describirlo y representarlo utilizando diferentes registros semióticos, como lo plantean los lineamientos curriculares propuestos por el Ministerio de Educación Nacional.

Palabras clave Aprendizaje, Función lineal, Ingeniería didáctica, Modelación, Situación didáctica.

Abstract

This article analyzes the way students learn the concept of linear function from a didactic engineering, in which they will develop tasks of modeling situations in context. The main purpose is to enhance the learning of the concept of function through modeling Of situations, which is achieved through the confrontation between a priori and a posteriori conceptions of students in phase 4 of engineering. The methodology used, the instruments used and the objectives drawn make this a qualitative research given that it is not intended to evaluate models, nor validate hypotheses or preconceived theories to analyze them by mathematical methods. Among the results obtained, it was found that the difficulties related to the learning of the concept of linear function are associated with the transfer through the different semiotic registers of representation that it possesses, especially the transfer to the algebraic and graphical registers. It was concluded that it is indeed possible to achieve a learning of the concept of function in which students develop variational thinking through the recognition, perception and characterization of variation and change in different contexts, to model it, describe it and represent it using different semiotic registers, As proposed by the curriculum guidelines proposed by the Ministry of National Education.

Keywords: Learning, linear function, didactic engineering, modeling, didactic situation.

Resumo

Neste artigo, a nossa forma de analisar como os alunos aprendem o conceito de função linear de uma engenharia didática, que irá desenvolver tarefas de situações de modelagem em contexto, o principal objetivo é promover a aprendizagem do conceito de função de modelagem de situações, o que é conseguido através do confronto entre concepções a priori e a posteriori dos alunos na fase 4 da engenharia. A metodologia utilizada, os instrumentos utilizados e os objetivos definidos fazem desta uma pesquisa qualitativa, uma vez que não se pretende avaliar modelos ou validar hipóteses ou teorias preconcebidas para analisá-las por métodos matemáticos. Entre os resultados, descobriu que as dificuldades associadas com o aprendizado do conceito de função linear estão associados com o movimento através dos diferentes registros semióticos de representação que este tem, especialmente a mudança para o algébrica e registros gráficos. Concluiu-se que é realmente possível para alcançar a aprendizagem conceito de função em que os alunos desenvolvem o pensamento variacional através do reconhecimento, a percepção e caracterização de variação e mudança em diferentes contextos, para moldá-la, descrever e representar usando diferentes registros semióticos, como proposto pelas diretrizes curriculares propostas pelo Ministério da Educação Nacional.

Palavras-chave Aprendizagem, função linear, engenharia didática, modelagem, situação didática.

Introducción

Cuando se le pregunta a una persona sobre lo que considera que es ser competente en matemáticas, muchos lo asocian con la habilidad de estimar cálculos y realizar operaciones con facilidad, lo cual reduce el quehacer matemático a una práctica algorítmica, dejando de lado los conceptos asociados a los objetos matemáticos.

Thompson (1992) citado por Villanova, y otros, (2001) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos, los términos geométricos y los teoremas; por lo tanto saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina. La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado raramente es comprendido.

Esta visión se ve reflejada en los resultados de pruebas como PISA, de la OCDE y SABER; en las cuales los estudiantes colombianos consistentemente obtienen bajos desempeños, gracias en gran medida a que en la escuela se prioriza la realización mecánica de procedimientos y algoritmos, por encima de la comprensión de los conceptos, es decir los estudiantes saben realizar operaciones, pero no comprenden muy bien cuando usarlas.

Uno de los conceptos matemáticos que más ha sufrido este fenómeno de logaritmación ejercitada por llamarlo de algún modo, ha sido el de función matemática, término que debe ser tema de análisis obligado, ya que la adecuada comprensión de éste es fundamental para el estudio de estructuras matemáticas más complejas.

Frente a esta situación Dorado & Díaz (2014) proponen una reflexión en cuanto a la importancia que reviste el concepto de función en el currículo de matemáticas, debido a que es fundamental para adquirir otros conocimientos, incluso en otras disciplinas. No obstante, según un estudio realizado por Villa, Bustamente, Berrio, & Osorio (2008) se encontró que en algunas instituciones de educación básica y media la enseñanza del concepto de función se limita a una práctica algorítmica, aplicada a un conjunto reducido de situaciones que poco o nada tienen que ver con la realidad.

En relación con lo anterior González Martín & Camacho (2005), citado por Peña  & Aldana (2013) señalan que "algunas dificultades asociadas al concepto de función pueden deberse a la gran variedad de representaciones que éste tiene (gráfica, diagrama de flechas, fórmula, tabla, descripción verbal...) y las relaciones entre ellas" (p.151).

Partiendo de las consideraciones anteriores el objetivo general de este estudio es potenciar el aprendizaje del concepto de función lineal con los estudiantes de grado octavo a través de la modelación de situaciones extraídas del contexto.

En correspondencia con el objetivo general los objetivos específicos están asociados con cada una de las fases de la metodología de la ingeniería didáctica. El primero derivado de la fase 1 "Análisis preliminares" es conocer los aspectos históricos, epistemológicos, cognitivos y didácticos asociados con el concepto de función, el segundo derivado de la fase 2 "Análisis a priori" es identificar  las  dificultades  que  presentan  los  estudiantes,  cuando  resuelven  tareas  de  modelación  de  situaciones de  problemas  de  su  cotidianidad,  asociadas  al  concepto  de  función, el tercero derivado de la fase 3 "Experimentación" es analizar  la  comprensión  que  alcanzan  los  estudiantes del concepto de función  mediante  un  proceso  de  modelación  de  situaciones  en  contexto y el último objetivo específico derivado de la fase 4 "Análisis a posteriori" es validar el  nivel  de  aprendizaje  alcanzado  por  los  estudiantes  del  concepto  de  función,   mediante  la  confrontación del  análisis  apriori  y  posteriori.

Las  dificultades  asociadas  a  la  incorrecta  apropiación  del concepto de función  por  parte  de  los  estudiantes,  consecuencia  en  cierta  medida  por  la  forma  como  este  es  desarrollado  en  los  libros  de  texto,  donde  se   privilegia  el  desarrollo  de  procedimientos  algorítmicos  y  algebraicos,  por  encima  del  significado  analítico  del  concepto,  junto  con  los  aportes  de  diversos  estudios  relacionados  han  sido  el  punto  de  partida  para  formular  el  siguiente  problema  de  investigación: ¿Cómo  potenciar  el  aprendizaje  del  concepto  de  función lineal en  los  estudiantes  del  grado  octavo  de  la  Institución  Educativa  Nuestra  Señora  de  los  Dolores  del  municipio  de  Quinchia?

Con el fin de alcanzar el objetivo general y por consiguiente dar respuesta a la pregunta de investigación, el trabajo se desarrolló en diferentes etapas, primero se realizó una revisión bibliográfica con la cual se pudo establecer el estado del arte, luego se desarrollaron cada una de las fases de la ingeniería didáctica como se describe a continuación:

Fase 1 Análisis preliminares: Se llevó a cabo una búsqueda bibliográfica del concepto de función desde sus inicios hasta la época presente, al tiempo que se realizaba dicha investigación histórica se analizaron las concepciones de un grupo de estudiantes de grado undécimo para el análisis de la dimensión cognitiva, al igual que las concepciones de un grupo de  docentes para el análisis de la dimensión didáctica.

Como resultado del análisis preliminar se establecieron las siguientes categorías que serán analizadas a través de las actuaciones de los estudiantes en las fases 2, 3 y 4 de la ingeniería didáctica.

Categoría 1:

Reconocimiento y descripción de la dependencia entre variables.

Categoría 2:

Modelación de expresiones verbales, aritméticas o algebraicas.

Categoría 3:

Conversión de un sistema semiótico de representación en otro.

Categoría 4:

Representación gráfica de una relación de dependencia a través de un producto cartesiano.

Categoría 5:

Dominio y rango de la función.

Fase 2 Análisis a priori: En esta fase se les propuso a los estudiantes una situación a didáctica en la que debían modelar una situación del contexto.

Fase 3 Experimentación: En esta fase se propusieron dos situaciones didácticas a los estudiantes, y luego se les propuso nuevamente la situación a didáctica desarrollada en la fase 2 para realizar la confrontación entre el análisis a priori y posteriori en la fase 4.

Fase 4 Análisis a posteriori y validación: En esta fase de la ingeniería se realizó la confrontación entre el análisis a priori derivado de la fase 2, con el análisis a posteriori asociado con la fase 3.

Finalmente se redactaron las conclusiones y se elaboró el informe de la investigación.

Perspectiva teórica. Dificultades asociadas al concepto de función

Según investigaciones realizadas por Azcárate & Piquet (1996) e Higueras (1998) citadas por Castro & Díaz (2014) relacionadas con las dificultades asociadas al aprendizaje del concepto de función son debidas entre otros  a los siguientes aspectos:

La construcción deficiente que realizan los estudiantes del concepto.

La falta de situaciones significativas  durante su aprendizaje, lo cual está directamente relacionado con el modelo pedagógico tradicional utilizado por el profesor.

La clase de actividades desarrolladas con los diferentes registros de representación, que no propician la comprensión de los elementos inmersos en el concepto.

La ejercitación de lo simbólico, lo cual favorece el dominio de procesos algorítmicos en las situaciones problema donde se utiliza el concepto de función, pero al enfrentarse a situaciones contextualizadas los estudiantes se encuentran con dificultades para solucionarlas por la poca comprensión de elementos como la identificación del tipo de función, de las variables y su relación de dependencia. (p. 11 -12)

Construcción del concepto de función

Luego de verificar que los estudiantes manejan  los conceptos previos requeridos, se puede iniciar la construcción del concepto de función. Debido a que las funciones son una categoría inclusiva de las relaciones, es necesario introducir el concepto de función partiendo del análisis de situaciones que permitan el estudio y análisis de las relaciones.

Dicho proceso debe permitir  establecer diferencias entre las relaciones que no son funciones de las que sí lo son, y a partir de las últimas identificar características y propiedades teniendo en cuenta las diferentes representaciones.

Definición matemática de función

El concepto de función en matemáticas es muy importante porque permite modelar algunos fenómenos, como los costos, compras, transferencias, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial, en el aspecto económico, en el uso de la oferta y la demanda, los cuales no solo se encuentran en contextos matemáticos sino también en contextos de las ciencias; las funciones que tienen la forma f (x)= ax y f(x)=ax+b son los modelos lineales más simples y representan para muchos estudiantes el primer contacto con el concepto de función.

Para efectos de esta investigación se asumirá el siguiente concepto de función propuesto por Dirichlet, (1837) citado por Ugalde, (2013).

 Si una variable "x" está relacionada con otra variable "y" de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a "x", mediante una regla según la cual queda determinado un único valor de "y", entonces se dice que "y" es una función de la variable independiente "x". (pág, 15)

Teoría de las situaciones didácticas TSD

La teoría de las situaciones didácticas surge bajo el seno de la escuela francesa de didáctica de la matemática,  con Guy Brousseau (2007) a la cabeza, como herramienta para descubrir e interpretar los fenómenos y procesos ligados a la adquisición y a la transmisión del conocimiento matemático.

Según Panizza (2003) las situaciones propuestas deben abarcar distintos tipos de respuestas de parte del estudiante al que se le proponen, las cuales pueden ser de tres clases: "de acción, de formulación o de validación". (p. 10)

Situaciones de acción: funcionan sobre el ambiente y favorecen el nacimiento de teorías (implícitas) que funcionan como modelos cuyas propiedades son utilizadas en la práctica para resolver ciertos problemas. (Panizza, 2003. p. 10)

En otras palabras son aquellas situaciones en las que el estudiante debe realizar una acción sobre un medio, ya sea material, simbólico o artificial, para lo cual requiere de la puesta en escena de conocimientos implícitos.

Situaciones de formulación: favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos, si tienen dimensión social explícita, se habla de situaciones de comunicación. (Panizza, 2003. p. 11)

Se trata por lo tanto de situaciones en las que el estudiante formula un mensaje a partir de la tarea en cuestión y el receptor de dicho mensaje debe comprenderlo y actuar sobre un medio material, simbólico o artificial con base en el contenido de dicho mensaje.

Situaciones de validación: aquellas donde a los estudiantes se les solicitan pruebas y, por lo tanto, explicaciones sobre las teorías utilizadas y también explicitación de los medios que subyacen en los procesos demostrativos. (Panizza, 2003. p. 11)

Contrato didáctico

El contrato didáctico se constituye entonces en un sistema de normas; algunas de éstas, en su mayoría genéricas, pueden ser perdurables; otras, en su mayoría específicas del conocimiento objeto de estudio, deben ser definidas en función de los progresos del saber.

Situación didáctica

Dentro de las situaciones que se pueden ofrecer al estudiante, esta teoría plantea las situaciones didácticas, las cuales son construidas intencionalmente con el fin de hacer adquirir a los alumnos un saber determinado, Brousseau (1982) citado por Galvez, G (1994) y retomado por Panizza (2003) las define como:

Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución. (p.4)

Situación a-didáctica

Dentro de esta dinámica se identifica otra dimensión: la situación a-didáctica, la cual es entendida como el proceso en el que el docente le plantea al estudiante un problema que asemeja situaciones de la vida real que podrá abordar por medio de sus conocimientos previos y que le permitirán generar hipótesis y conjeturas que asemejan el trabajo que se realiza en una comunidad científica. En otras palabras, el estudiante se verá en una micro comunidad científica resolviendo situaciones, sin la intervención directa del docente, con el propósito de institucionalizar posteriormente el saber adquirido.

Para Brousseau (1986) citada por Panizza (2003) el término de situación a-didáctica

Designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervención del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego. (p. 4)

La institucionalización

La institucionalización se da cuando en una situación se reconoce el valor de un procedimiento se convierte en medio de referencia, cual si fuera una fórmula, ya que en las situaciones didácticas es necesario identificar cuáles de las propiedades que se encuentran y se deben conservar.

Es importante destacar que la institucionalización busca establecer relaciones entre las producciones de los estudiantes con el saber científico inherente al objeto matemático en cuestión, por lo tanto no debe presentarse el saber científico sin relacionarse con el trabajo desarrollado en la clase.

Ingeniería didáctica

La noción de ingeniería didáctica se introdujo en la didáctica de la matemática francesa a comienzos de la década de los 80 para describir una manera de abordar el trabajo didáctico comparable al trabajo del ingeniero Artigue (1995). Esta comparación se basa en el supuesto de que para realizar un proyecto el ingeniero se apoya en los conocimientos científicos de su dominio, acepta someterse a un control científico, pero al mismo tiempo, está obligado a trabajar sobre objetos mucho más complejos que los de la ciencia, y por tanto puede abordar problemas que la ciencia no puede tomar a su cargo todavía.

La ingeniería didáctica como metodología de investigación presenta entre sus principales características, que es una investigación basada en intervenciones didácticas en clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.

Otra característica que vale la pena resaltar es que la validación es esencialmente interna, fundada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori (y no validación externa, basada en la comparación de rendimientos de grupos experimentales y de control).

Para el desarrollo de este tipo de investigación se deben tener en cuenta las cuatro fases que ésta presenta: a) Análisis preliminares; b) Concepción y análisis a priori de situaciones didácticas; c) Experimentación; d) Análisis a posteriori y evaluación.

Análisis preliminares

Según Artigue (1995) el análisis preliminar considera tres dimensiones fundamentales dentro de la ingeniería didáctica.

• La dimensión epistemológica asociada a las características del saber matemático en juego.

• La dimensión cognitiva asociada a las características cognitivas del público al cual se dirige la enseñanza.

• La dimensión didáctica asociada a las características del funcionamiento del sistema de enseñanza. (p. 40)

Concepción y análisis a priori

Tradicionalmente, este análisis a priori comprende una parte descriptiva y una predictiva; se centra en las características de una situación a-didáctica que se ha diseñado y se va a proponer a los alumnos.

Se analiza qué podría aprender en esta situación un estudiante en función de las posibilidades de acción, decisión, control y validación de las que dispone, una vez puesta en práctica, cuando trabaja independientemente del profesor. Además se prevén los comportamientos posibles y se trata de demostrar cómo el análisis realizado permite controlar su significado y asegurar, que, si se producen los comportamientos esperados, sean resultado de la puesta en práctica del conocimiento pretendido por el aprendizaje.

Experimentación

Es la fase de la ingeniería didáctica donde el investigador tiene contacto directo con una cierta población de estudiantes objeto de la investigación.

Para el desarrollo de esta fase, el investigador debe explicitar de los objetivos y condiciones de realización de la investigación a los estudiantes que participarán de la experimentación, asimismo establecer un contrato didáctico y finalmente aplicar los instrumentos de investigación diseñados de acuerdo con el problema de investigación.

Análisis a posteriori y validación

A la fase de experimentación sigue la de análisis a posteriori que se basa en el análisis del conjunto de datos recogidos a lo largo de la experimentación, que incluyen las observaciones de las secuencias de enseñanza y las producciones de los estudiantes en clase o fuera de ella. Estos datos se completan con frecuencia con otros obtenidos mediante cuestionarios, entrevistas individuales o en pequeños grupos, aplicadas en distintos momentos de la enseñanza o durante su transcurso. Y como ya se ha indicado, en la confrontación de los dos análisis, el a priori y a posteriori se fundamenta la validación de las hipótesis formuladas en la investigación.

Materiales y métodos

Dado que para el estudio que realizo con esta investigación no se pretende evaluar modelos, ni validar hipótesis o teorías preconcebidas para analizarlas por métodos matemáticos, se trata entonces de una investigación de tipo cualitativo, tal como lo plantean Sampieri, Collado, & Lucio (2014) al definir las características de la investigación cualitativa entre las que se menciona que ésta "se fundamenta en una perspectiva interpretativa centrada en el entendimiento del significado de las acciones de seres vivos, principalmente los humanos y sus instituciones". (p. 358 – 359)

La población está constituida por 35 estudiantes de grado octavo de la Institución educativa Nuestra Señora de los Dolores del municipio de Quinchía Risaralda. Se seleccionó este grado ya que según los derechos básicos de aprendizaje emanados del MEN en el 2015, en grado octavo se inicia el estudio de la función lineal y cuadrática, orientado hacia su comprensión y aplicación en situaciones de variación.

La investigación realizada fue de carácter descriptivo ya que en ella se describieron las producciones y concepciones de los estudiantes cuando realizan tareas relacionadas con situaciones que pueden ser modeladas mediante una función lineal. Como principal técnica la entrevista basada en tareas propuesta por Davis (1984) citado por Caicedo & Díaz (2014).

Durante el desarrollo de la investigación se realizaron cuatro intervenciones con estudiantes, en la primera se desarrolló la situación a didáctica, en la segunda y tercera se trabajaron dos situaciones didácticas y en la cuarta se aplicó nuevamente la situación a didáctica con el fin de realizar la validación de los aprendizajes alcanzados a través de la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori. Cada sesión tuvo una duración aproximada de 3 horas de trabajo de aula, complementado con entrevistas semiestructuradas a los estudiantes.

Resultados

Confrontación categoría 1

Reconocimiento y descripción de la dependencia entre variables

Análisis a priori

Gráfico 1 Respuesta estudiante A24  situación didáctica de acción  

Análisis a posteriori

Gráfico 2 Respuesta estudiante A24. situación didáctica de acción